カテゴリー「学問・資格」の10件の記事

2023年1月12日 (木)

【思考実験】無限の猿定理

 無限の猿定理は「猿が無限にタイプライターを打たせていると、そのうちシェークスピアの作品が打ち出される」というものです。つまり無限にランダムに文字を綴っているとどんな文章でもできあがるという定理です。文字を綴るのは猿である必要はありません。コンピュータを使って乱数で文字を発生させるやり方でも構いません。

【思考実験】無限の猿定理
【思考実験】無限の猿定理

 コンピュータが発生する文字の100文字だったとします。このコンピュータで任意の1文字が打ち出される確率は 1/100 となりますから、m 文字の文字列が打ち出される確率は100の m 乗分の1となります。たとえばMONKEYという6文字を打ち出さられる確率は100の6乗分の1ですから1兆分の1になります。

 -思考実験の読み物を公開しています 思考実験の科学史 ー

 このコンピュータが1秒で6文字を打ち出すとすると、すべての組み合わせを打ち出すのに1兆秒、すなわち3万年以上かかります。たった6文字の単語でも3万年に1度出るかどうかの確率です。それでは同じコンピュータを1兆台用意していっせい文字を打ち始めたらどうなるでしょう。理論的には1秒後にどれかのコンピュータが MONKEY を打ち出しているはずです。数秒後、1分後になると MONKEY 打ち出しているコンピュータの数は増えるでしょう。

 このように事象が起きやすくなる条件は理論的にはいくらでも設定することが可能です。しかし、現実離れした条件を設定しても事象が本当に起きるかどうかを確かめるには途方もない時間や途方もない数の装置を必要とするため実際に確かめる術はないのです。

【関連記事】

1-02. 無限の猿定理とは

1-06. 任意の文字列が打ち出される確率

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2022年12月 6日 (火)

思考実験「ヘンペルのカラス」

 思考実験「ヘンペルのカラス」はドイツの哲学者カール・グスタフ・ヘンペルが1940年代に示した問題です。

 事例から規則や法則を見い出そうとする推論を帰納法といいます。たとえばイタリアのガリレオ・ガリレイは有名な思考実験「重いものほど速く落下するのか?」において様々な実験の事例から落下速度は質量と関係しないことを見い出しました。そして当時常識だったアリストテレスの「重いものほど速く落ちる」という説を否定しました。ガリレオは実験の結果から結論を帰納的に導き出したのです。しかし、帰納法の場合、命題を否定する事例が見つかると証明がくつがえる危うさがあります。

 一方、規則や法則から事例の結論を得る推論を演繹法といいます。イギリスのアイザック・ニュートンは万有引力を発見し運動の法則を確立しました。この法則によって落下実験を行わずとも物体の落下運動を計算で求めることができるようになりました。計算に用いる条件さえ整えば、たとえば月面での物体の落下運動も求めることができます。このように法則からある事例の結論を演繹的に導くことが可能です。演繹的なアプローチにおいて、もし計算結果と実験結果が異なる場合は実験の失敗に気が付いたり、あるいは新たな事実を発見したりすることができます。

 「ヘンペルのカラス」は「カラスのパラドックス」とも呼ばれますが、ヘンペルが「全てのカラスは黒い」という命題を証明する手続きの危うさについて倫理学の対偶を利用して指摘したものです。ヘンベルは「全てのカラスは黒い」という命題を「全ての黒くないものはカラスではない」という等価の命題に言い換えて「全てのカラスは黒い」と証明する論法を提案しました。

ヘンベルとカラス
ヘンベルとカラス

 「全てのカラスは黒い」のように集合に属する全てのものが共通する性質を肯定または否定する命題を全称命題といいます。たとえば「全ての動物は死ぬ」と「全ての動物は空を飛ぶ」はどちらも全称命題ですが前者は真で後者は偽です。また「AはBである」という命題に対して「BでないならAでない」と言い換えた等価の命題を元の命題の対偶と言います。

 「全てのカラスは黒い」を帰納的に証明しようとするならば、カラスを次々と探し出して黒いことを確認していく必要があります。全ての探し出したカラスが黒ければ「全てのカラスは黒い」と証明できる状態に近づいていきます。さらに黒いカラスの数が増えれば「全てのカラスは黒い」は帰納的に証明できたと言えるでしょう。しかしながら、黒くないカラスが1羽でも見つかると証明は覆ってしまいます。

 もしも「全てのカラスは黒い」という規則や法則あるいは揺るぎない常識があるのであれば、次々と出会うカラスは全て黒いと演繹的に結論づけることが可能です。この場合。「全てのカラスは黒い」と「全ての黒くないものはカラスではない」は等価の命題で祖語はありません。

 ヘンベルは「全てのカラスは黒い」という全称命題をその対偶である「全ての黒くないものはカラスではない」を使って証明できるのかを問いかけたのです。具体的には観測者が世界に存在する黒くないものをとつひとつ確認していき、その中にカラスが一羽も存在してなければ全てのカラスが黒いことを証明できたことになるのかということです。

 観測者が黒くないカラスを1羽でも見つかればその時点で「全てのカラスは黒い」は証明できなかったことになります。黒くないカラスが見つからない状態が続いているときは「全てのカラスは黒い」が証明され続けていることになります。観測した黒くないカラスの数が増えれば増えるほど「全てのカラスは黒い」の確度は高くなっていき、やがて事実上証明できたことになるでしょう。

 しかし、この証明の手続きをよく考えて見ると奇妙なところがあります。それは観測者が黒いカラスを見ていないということです。黒いカラスを見たことがないのに「全てのカラスは黒い」という命題を証明できてしまうのです。

 ヘンベルはカラスを調べることなく「全てのカラスは黒い」という全称命題を証明できてしまうことからその手続きを危うさを指摘したのです。「全てのカラスは赤い」や「全てのカラスは青い」なども、赤くないカラスや青くないカラスが見つからなければ証明できてしまうのです。

【関連記事】

思考実験の科学史

1-08. 思考実験「重いものほど速く落下するのか」

1-09. 思考実験「重力から万有引力へ」

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2022年11月29日 (火)

思考実験「モンティ・ホール問題」

 「モンティ・ホール問題」は米国のゲームテレビ番組「Let's Make a Deal (LMAD)」で出題された確率に関する問題です。このとき司会を務めていたモンティ・ホールの名前に由来し「モンティ・ホール問題」と呼ばれるようになりました。

 「モンティ・ホール問題」は次のような問題です。

 回答者の前に3つのドアがあります。3つのドアのうち1つのドアは当たりでドアを開けると景品の自動車があります。残りの2つのドアは外れでドアを開けるとヤギがいます。回答者が3つのうち1つのドアを選択すると、司会のモンティ・ホールが残り2つのドアのうちヤギがいるドアを1つ開いて回答者にヤギを見せます。司会者はここで回答者に選ぶドアを変更しても良いと言われます。さて回答者はここでドアを変更するべきでしょうか。

 さっそく考えてみましょう。3枚のドアのうち自動車があるのは1枚のドアですから当たる確率は1/3です。ここで回答者は左側のドアを選び、モンティ・ホールは右側のドアを開いて外れのヤギを見せたとしましょう。下図のような場合、当たりの自動車があるのは左のドアか真ん中のドアのどちらかになります。

モンティ・ホール問題<
モンティ・ホール問題

 この問題に米国のコラムニストのマリリン・ボス・サヴァントが自身の担当する雑誌のコラムで「正解はドアを変更する。ドアを変更すれば当たる確率が2倍になる」と主張しました。するとこの主張に対して多くの反論が寄せられました。

 反論の多くは残った2枚のドアのどちらかに当たりの自動車があるのだから、これはコイン投げで表か裏が出る確率 1/2と同じであり、どちらのドアを選んでも当たる確率は五分五分で変わらないというものでした。反論する者の中には多くの学者もいました。

 これらの反論に対してサヴァントは、ドアを変えれば当たる確率は2/3、外れの確率は1/3になるが、ドアを変えなければ当たる確率は1/3のままだと説明しました。しかしながら、この説明に対する反論も多数ありました。

 はたしてサヴァントの主張は間違っているのでしょうか。多数派の主張が正しいのでしょうか。

 ここでモンティ・ホールが外れのドアを1枚開いた状態で事情も経緯も知らない人がやってきたと考えましょう。モンティ・ホールがその人に2枚のドアのうちどちらか一方のドアに当たりの自動車があるので好きな方のドアを選んでくださいと言ったとします。この場合、この人が自動車を当たる確率は1/2になります。そうであれば最初の回答者が自動車を当てる確率も 1/2 になりそうですが、この人と最初の回答者では有している情報が異なるのです。

 最初の回答者は3枚のうち1枚のドアを選んでいます。このドアに自動車がある確率は 1/3 です。選ばなかった2枚のドアの方に自動車があるかもしれません。すると選ばなかった2枚のドアのどちらかに自動車がある確率は2/3となります。そして2枚のうち外れのヤギがいる1枚のドアが開かれたたのですが、どちらかに自動車がある確率は2/3のままになります。

 回答者が左のドアを選び、正解のドアが左だったとしましょう。モンティ・ホールは回答者が選んだドアは開けませんから真ん中か右のドアを開くことになります。正解のドアは左ですから、モンティ・ホールが残りの2枚のドアのどちらかを開く確率は1/2になるのです。回答者は正解を選んでいるのでドアを変えると外れてしまいますが、この事象が起きる確率は1/3×1/2が2通りですから1/3になります。

 回答者が左のドアを選び、正解のドアが真ん中か右のドアのどちらかだったとしましょう。このときモンティ・ホールは回答者が選んだドアは開けません。残りの2枚のドアは1枚が当たりでもう1枚が外れです。ですからモンティ・ホールが開くドアは決まっています。回答者は不正解を選んでいるのでドアを変えると当たることになります。そして、この事象が起きる確率は1/3×1が2通りですから2/3になります。

 このことからドアを選び直さなければ自動車が当たる確率は1/3のままで、ドアを選び直せば自動車が当たる確率が 2/3 となりサリヴァンの言う通りに当たる確率が2倍になるのです。

 「モンティ・ホール問題」は直感的はには分かりにくい問題です。しかし、ドアが10枚だったらどうでしょうか。回答者は10枚のドアから1枚を選びます。当たりの確立は1/10です。このときモンティ・ホールは残り9枚のドアのうち外れのドアを8枚開くことになります。このときドアを選び直しても良いと言われたらあなたは残った2枚のドアのうちどちらを選びますか?

【関連サイト】

思考実験

思考実験の科学史

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2021年12月10日 (金)

初のノーベル賞授賞式(1901年12月10日)

 1895年11月27日、スウェーデンの化学者アルフレッド・ノーベルが自ら発明したダイナマイトで得た巨額の財産を基金として人類のために貢献をした人に賞を与えると遺言状に書いて署名しました。賞の対象とする分野は物理学・化学・医学または生理学・文学・軍縮は平和推進に貢献した個人や団体としました。1969年には経済学が追加されました。ノーベルは1896年12月10日に他界し、その後ノーベル財団が設立され、この賞は「ノーベル賞」と名付けられました。

 ノーベル賞の授賞式は毎年ノーベルの命日に行われます。第1回のノーベル賞は1901年12月10日に授賞式が行われました。第1回のノーベル賞の授賞者は次の通りです。

・物理学賞 

 ヴィルヘルム・コンラート・レントゲン(ドイツ)エックス線を発見

・化学賞

 ヤコブス・ヘンリクス・ファント・ホッフ(オランダ)熱力学でファント・ホッフの式を発見

・生理学医学賞 

 エミール・アドルフ・フォン・ベーリング(ドイツ)ジフテリアに対する血清療法を開発し

・文学賞 

 シュリ・プリュドム(フランス)文学や科学、哲学の調和を図った業績

・平和賞 

 アンリ・デュナン(スイス)赤十字社の創立 

 フレデリック・パシー(フランス)列国議会同盟や国際平和会議の創設

 ノーベル賞の授賞式は物理学・化学・医学または生理学・文学・経済学はスウェーデンのストックホルムのコンサートホールで行われ、平和賞はノルウェーのオスロの市庁舎で行われます。授賞者の選考は平和賞以外はスウェーデンの研究機関が行い、平和賞はスウェーデンと連合王国だったノルウェーのノーベル委員会が行います。選考委員会が全世界の専門家に推薦依頼を送り、その結果から受賞者を選びメダル、賞状、賞金を贈ります。

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ノーベル賞の授賞式(ストックホルムコンサートホール)

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ノーベル賞制定記念日(1895年11月27日)

エックス線の発見(1895年11月8日)

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2021年11月27日 (土)

ノーベル賞制定記念日(1895年11月27日)

 スウェーデンの化学者アルフレッド・バルンハート・ノーベルは1833年に貧しい建築家の家庭に生まれました。父は1837年にロシアのサンクトベルぐで機械や爆発物の製造で成功し兵器開発を手掛けるようになりました。

 ノーベルは父の影響で幼少期から爆発物に興味をもちその原理を学んでいましたが、父が事業成功し家庭が裕福になると化学と語学の英才教育を受けました。1850年にフランスの化学者テオフィル=ジュール・ペルーズの講座を受講し、1851年から4年間米国に留学しました。

 ペルーズの元にはニトロセルロースの研究でパイログリセリンを開発したアスカニオ・ソブレロがいました。パイログリセリンは後にニトログリセリンと改名されますが、ソブレロはニトログリセリンが非常に扱いにくい危険な物質であると警告していました。 ニトログリセリンは黒色火薬より7倍の爆発威力を持つため鉱山の発破に使われていました。しかし、導火線で点火しても爆発せず、そのくせ衝撃や摩擦で爆発してしまうため非常に扱いにくい物質でした。そのため事故が多発していました。

 1856年にクリミア戦争が終結すると父の事業はうまくいかなくなり、1859年に父はノーベルと一緒にスウェーデンに戻りました。ノーベルは1855年頃にはニトログリセリンのことを知っていたようで、スウェーデンに戻るとニトログリセリンの安全な製造方法、保管方法、使用方法などの研究開発を始めました。1863年に特許を取得するものの、この爆薬が危険であることには変わりありませんでした。

 1864年にノーベルの弟と助手の計6名がグリセリンの精製中に爆発事故で亡くなりノーベル自身も怪我を負いました。この事故でスウェーデンにおけるニトログリセリンの研究開発が許可されなくなり、ノーベルはドイツで研究を進めることにしました。ノーベルはニトログリセリンを安全に扱う方法を求め続け、1866年にニトログリセリンを珪藻土に染みこませ雷管を用いて爆発させるダイナマイトを発明しました。1867年に米国と英国でダイナマイトの特許を取得しました。

 ダイナマイトは鉱山や工事現場などで使われ人々の生活を豊かにするものとなりました。同時に軍事にも使われるようになりました。ノーベルはダイナマイトが軍事目的で使われることは想定していたようですが、ダイナマイトの破壊力が戦争を抑止すると考えていたようです。しかし、ダイナマイトは多くの人の命を奪うことになりました。「死の商人」とまで揶揄されたノーベルは自身の評価を気にするようになりました。

 ノーベルは自らの発明が多くの人命を奪っことに対する償いや自身の名誉回復のため何かできないかを考えました。そして1895年11月27日にダイナマイトで手に入れた巨額の財産を基金として人類のために最大の貢献をした人たちに賞を与えると遺言状に書いて署名しました。賞の対象となる分野は物理学、化学、医学または生理学、文学、軍縮や平和推進に貢献した個人や団体とされました。その後、経済学が追加されました。

ノーベルと遺言書
ノーベルと遺言書

 ノーベル本人は遺言書に書いた賞に名をつけませんでしたが「ノーベル賞」と呼ばれるようになりました。そして翌年12月10日にノーベルは永眠したのです。ノーベル賞の授賞式は毎年ノーベルの命日に行われています。

ノーベル (コミック版 世界の伝記)

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2010年9月28日 (火)

ラプラスの確率

普通の6面のサイコロを1回だけ投げたときに、1~6のある目が出る確率は1/6です。サイコロの目の出方を簡単に確率で結論づけてしまって良いのでしょうか。

19世紀のフランスの数学者ピエール・シモン・ラプラスは「確率とは計算された常識である」と述べています。これは、未来に起きるあらゆる現象は、過去に起きた現象によって決まるという意味です。

 ラプラスの考えをサイコロの例で考えると、サイコロのどの目が出るかは、サイコロを投げたときの初期条件とその後の力学的条件によって決まるのであって、決して確率によって決まるものではないということです。つまり、手からサイコロが投げ出される速度、サイコロのどの部分が床にぶつかり、その後、どのように跳ね返って転がるのかなどを詳細に調べればサイコロのどの目が出るかを求めることができるということです。

 私たちがサイコロのどの目が出るのか予め求めることができないのは、サイコロの運動の条件が複雑すぎるためです。サイコロを投げてからある目が出るまでの時間が短すぎて、その間に一連の計算をすることができないのです。十分に時間をかければ理論的にどの目が出るかを導き出すことはできるでしょうが、そのような苦労をしてまでサイコロのどの目が出るかを求めることは非効率的です。それよりも、サイコロのある目が出る確率は1/6であると考えた方が合理的なわけです。だから、ラプラスに言わせると「確率とは計算された常識である」ということになります。

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2010年9月27日 (月)

思考実験とは

 思考実験とは実際に実験を行わず、設定した前提条件をもとに、理論的に導かれる現象を思考のみによって実験することです。言い換えれば、実際に実験できないことを、頭の中であれこれと考えてみることと言っても良いでしょう。

 ただし、あれこれ考えることができると言っても、あくまで科学の法則に忠実に則って進めなければなりません。その約束が守れている限りにおいては、思考実験によって従来の科学の枠を超えた新しい理論を導き出すことも可能です。事実、たくさん新しい科学の理論体系が思考実験によって生まれてきました。

 

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2007年7月21日 (土)

夏休みの自由研究@folomy 理科大好き

昨年までは@niftyのフォーラム「化学の広場」で夏休みの恒例だった特設掲示板【自由研究】ですが、今年からは<folomy>の「理科大好き!」(芸術・学問分野)の【自由研究】質問箱に設置しました。folomyはメールアドレスを登録するだけで参加できるコミュニティです(発言にはメールアドレスの登録が必要ですが、【自由研究】質問箱はインターネット上に公開されますので誰でも読むことができます)。

本日、掲示板を設置しました。なお、昨年までの過去ログは下記で見ることができます。

http://sci.la.coocan.jp/fchem/log/log.html#jiyukenkyu

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2007年7月 9日 (月)

学研・夏休み自由研究プロジェクト

学研のキッズネットで2007年の夏休み自由研究プロジェクトが始まりました。キッズネットに登録すると自由研究なんでも質問箱で、夏休みの自由研究についての質問ができます。

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2007年3月23日 (金)

新しいコミュニティサイト folomy

2007年3月31日(土)24:00で@niftyのフォーラムが終了します。以後、フォーラムへの書き込みはできなくなり、フォーラム内の記事は2007年6月28日(木)15:00までは閲覧できますが、その後はインターネットから姿を消すことになります。この件については@niftyのこちらのページをご覧ください。

自分が運営に関わっている「化学の広場」「サイエンスフォーラム」「物理フォーラム」は@niftyのフォーラムとしては終了しますが、サイトを変えて、新たにいくつかのフォーラムを加えて再スタートすることになっています。

その新しいサイトが folomy(フォロミー)です。

folomyは今流行のmixiと同じくSNSですが、メールアドレスさえ登録すれば誰でも無料で参加が可能です。参加するのに会員の紹介も必要ありません(folomy内では参加が承認制の会議室もあります)。

自然科学関係は

○化学の広場
○物理フォーラム
○サイエンスフォーラム
○理科大好き!
○生物の広場
○地球科学・天文の広場
○数学の広場

があります。正式オープンは4月の予定でまだ準備中ですが、参加は既に受け付けています。 興味のある方は是非一度folomy(フォロミー)にアクセスして参加してみてください。

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