カテゴリー「数学」の9件の記事

2021年7月22日 (木)

円周率近似値の日(7月22日)

 7月22日は円周率近似値の日とされています。欧州では日付の表記が日本の「月/日」と逆で「日/月」となっています。7/22(7月22日)は22/7でこの割り算の答えは3.142857となります。

 古代ギリシアのアルキメデスは正九十六角形から円周率を(3 + 10/71)から (3 + 1/7)の間(3.14084から3.14286の間)にあると求めました。アルキメデスが求めた円周率の上限値(3+1/7)が22/7であることから、7月22日は円周率近似値の日とされています。

アルキメデス
アルキメデス

 正多角形から円周率を求める方法について興味がございましたらココログ 光と色と「円周率はどのように求められるか」をご一読ください。

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2021年3月14日 (日)

円周率の日(3月14日)

 3月14日は円周率3.14に由来して円周率の日とされています。さらに細かく3.14159まで考慮して3月14日01時59分もしくは3月14日15時9分に円周率の日を迎える場合もあります。

 円周率は任意の大きさの円の円周をその直径で割った値で記号πで表します。πはギリシア文字で周辺・円周・周などを意味するπερίμετροςあるいは περιφέρειαに由来します。

 円は相似形ですからその大きさに関係なく円周率は一定になります。また、円周率は整数の比で表すことができない無理数で循環しない無限小数です。

 π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288  …

 いま直径 d の円の円周を c とすると、

 c = πd

で表すことができます。ここで円周 c と同じ長さの直線と直径 d と同じ長さの直線を比較すると次の図のようになります。円周は直径の(3+α)倍であることがわかり、αを実測してみると約0.14dであることがわかります。

円周cと直径dの比較
円周cと直径dの比較

 この図からもわかる通り、目的に応じて円周率を3として概算することは理にかなっていると思います。しかし、同時に概算でどれぐらいのずれが生じるかを想像できないと「目的に応じて」を見失うことになってしまいます。

 たとえば直径 dの円周を 3d と概算したとしましょう。実際の円周は約3.14dですが、3dは直径 d の円に内接する正六角形の周の長さと同じです。3d はあくまでの直径 d の円周の近似値であり、内接する正六角形の周の長さと同じであることから、本当の円周は 3d より大きいことがわかります。

直径 dの円に内接する正六角形
直径 dの円に内接する正六角形

 さて、このように円に内接する正多角形を考えると、円周率を求めることができます。

この先のお話に興味のある方は、

 ココログ 光と色と円周率はどのように求められるか

をご覧ください。

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2013年9月 4日 (水)

Googleで「電卓」と検索すると!

 これも知っている人は知っているネタですが、Googleで「電卓」というキーワードで検索すると、次のように電卓が表示されます。

Photo

πで検索すると円周率3.14159265359が表示された状態で電卓が表示されます。eだと 自然対数の低であるネイピア数2.71828182846が表示されます。

2

ちなみに計算結果が表示されている部分はテキストのコピーができます。

また、テキスト入力も可能です。例えば、2*5と入力して[ENTER]キーを押すと、結果10を表示してくれます。

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2013年8月13日 (火)

【問題】5+4=19 5+3=28 では5+1は?

どこかで見かけたであろう算数の問題(^^ゞ

5+4=19 

5+3=28 

では

5+1はいくつでしょう。

ちなみに

8+1=79

9+1=810

となります。

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2012年9月 5日 (水)

【問題】1+2+4+8+…+Xを一瞬で解く方法

1+2+4+8+…+X の答えを一瞬で求める方法があります。どのように計算したら良いでしょうか。

たとえば、Xが512だったとすると、

1+2+4+8+16+32+64+128+256+512

を計算するだけです。

あることに気が付くと、暗算でほとんど一瞬で計算できます。

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2012年8月17日 (金)

続・頭に浮かべた数字を当てる計算

 以前、「頭に浮かべた数字にある計算を行うとびっくりする結果に」という記事を紹介しましたが、その第二弾です。

 まず、3桁の数字を思い浮かべてください。数字が重複していても構いません。

 その数字が○×△だったとしましょう。この数字を2つ並べて6桁の数字にしてください。つまり、○×△○×△という数字になります。

 ○×△○×△の数字を13で割ってください。たぶん、割り切れると思います。その答えをAとしましょう。

 次に、Aを11で割ってください。これも割り切れると思います。その答えをBとしましょう。

 最後に、Bを7で割ってください。答えはどうなったでしょうか。

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2012年5月 3日 (木)

頭に浮かべた数字にある計算を行うとびっくりする結果に

8桁の数字を1つ思い浮かべてください。その数字をZとしましょう。

そして、その8桁の数字を真ん中からわけて、最初の4桁の数字をX、後ろの4桁の数字をYとします。そして、次の計算式を

(X×250×80+2×Y)/2

を計算してみましょう。

例えば、Z=57981367 とすると

X=5798 Y=1367

になります。これを上の式に代入すると・・・

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2012年1月30日 (月)

図形の問題

先週、図形の問題について聞かれました。ちょっと考えましたが、ある補助線に気がついたら、すぐに解けました。時間のあるときにでも考えてみてください。

次の図において、Oの半径を1 cmとしたとき、O' の半径は何センチメートルになるか答えなさい。

Photo

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2011年11月 7日 (月)

ルート2 ( √2 ) が無理数であることの証明-背理法

背理法は古代ギリシャのエレア学派の哲学者ゼノンが発明した証明法です。

三平方の定理において、直角二等辺三角形の斜辺をc、残りの2つの辺をaa、bとすると、次の関係があります。

= a + b  ①

ここで、aとbを1とすると

2 = 2 ②

となります。cは√2であり、無理数ですが、ここでcは有理数であると仮定します。すると、cは同じ約数をもたない2つの数字mとnの比として表すことができます。

c = m/n ③  

③式の両辺を2乗すると

= m / n ④

となります。cは2ですから、

/ n = 2 ⑤

より、

2n = m  ⑥

となります。ここで、2nは必ず偶数となるため、mも偶数でなければなりません。そこで、

m = 2k ⑦

とします。⑦式を⑥式に代入すると、

 = 2k ⑧

となります。

⑧式において右辺は偶数ですので、nも偶数となります。すると、mもnも偶数ということになり、mとnは2という公約数をもつことになり、割り切れてしまいます。すると、③式において、mとnは同じ約数をもたないとしたことに矛盾が生じます。

この矛盾は√2を有理数と仮定したことから生じています。よって、√2は有理数ではなく、無理数となります。

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