カテゴリー「数学」の13件の記事

2023年1月12日 (木)

【思考実験】無限の猿定理

 無限の猿定理は「猿が無限にタイプライターを打たせていると、そのうちシェークスピアの作品が打ち出される」というものです。つまり無限にランダムに文字を綴っているとどんな文章でもできあがるという定理です。文字を綴るのは猿である必要はありません。コンピュータを使って乱数で文字を発生させるやり方でも構いません。

【思考実験】無限の猿定理
【思考実験】無限の猿定理

 コンピュータが発生する文字の100文字だったとします。このコンピュータで任意の1文字が打ち出される確率は 1/100 となりますから、m 文字の文字列が打ち出される確率は100の m 乗分の1となります。たとえばMONKEYという6文字を打ち出さられる確率は100の6乗分の1ですから1兆分の1になります。

 -思考実験の読み物を公開しています 思考実験の科学史 ー

 このコンピュータが1秒で6文字を打ち出すとすると、すべての組み合わせを打ち出すのに1兆秒、すなわち3万年以上かかります。たった6文字の単語でも3万年に1度出るかどうかの確率です。それでは同じコンピュータを1兆台用意していっせい文字を打ち始めたらどうなるでしょう。理論的には1秒後にどれかのコンピュータが MONKEY を打ち出しているはずです。数秒後、1分後になると MONKEY 打ち出しているコンピュータの数は増えるでしょう。

 このように事象が起きやすくなる条件は理論的にはいくらでも設定することが可能です。しかし、現実離れした条件を設定しても事象が本当に起きるかどうかを確かめるには途方もない時間や途方もない数の装置を必要とするため実際に確かめる術はないのです。

【関連記事】

1-02. 無限の猿定理とは

1-06. 任意の文字列が打ち出される確率

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2022年11月29日 (火)

思考実験「モンティ・ホール問題」

 「モンティ・ホール問題」は米国のゲームテレビ番組「Let's Make a Deal (LMAD)」で出題された確率に関する問題です。このとき司会を務めていたモンティ・ホールの名前に由来し「モンティ・ホール問題」と呼ばれるようになりました。

 「モンティ・ホール問題」は次のような問題です。

 回答者の前に3つのドアがあります。3つのドアのうち1つのドアは当たりでドアを開けると景品の自動車があります。残りの2つのドアは外れでドアを開けるとヤギがいます。回答者が3つのうち1つのドアを選択すると、司会のモンティ・ホールが残り2つのドアのうちヤギがいるドアを1つ開いて回答者にヤギを見せます。司会者はここで回答者に選ぶドアを変更しても良いと言われます。さて回答者はここでドアを変更するべきでしょうか。

 さっそく考えてみましょう。3枚のドアのうち自動車があるのは1枚のドアですから当たる確率は1/3です。ここで回答者は左側のドアを選び、モンティ・ホールは右側のドアを開いて外れのヤギを見せたとしましょう。下図のような場合、当たりの自動車があるのは左のドアか真ん中のドアのどちらかになります。

モンティ・ホール問題<
モンティ・ホール問題

 この問題に米国のコラムニストのマリリン・ボス・サヴァントが自身の担当する雑誌のコラムで「正解はドアを変更する。ドアを変更すれば当たる確率が2倍になる」と主張しました。するとこの主張に対して多くの反論が寄せられました。

 反論の多くは残った2枚のドアのどちらかに当たりの自動車があるのだから、これはコイン投げで表か裏が出る確率 1/2と同じであり、どちらのドアを選んでも当たる確率は五分五分で変わらないというものでした。反論する者の中には多くの学者もいました。

 これらの反論に対してサヴァントは、ドアを変えれば当たる確率は2/3、外れの確率は1/3になるが、ドアを変えなければ当たる確率は1/3のままだと説明しました。しかしながら、この説明に対する反論も多数ありました。

 はたしてサヴァントの主張は間違っているのでしょうか。多数派の主張が正しいのでしょうか。

 ここでモンティ・ホールが外れのドアを1枚開いた状態で事情も経緯も知らない人がやってきたと考えましょう。モンティ・ホールがその人に2枚のドアのうちどちらか一方のドアに当たりの自動車があるので好きな方のドアを選んでくださいと言ったとします。この場合、この人が自動車を当たる確率は1/2になります。そうであれば最初の回答者が自動車を当てる確率も 1/2 になりそうですが、この人と最初の回答者では有している情報が異なるのです。

 最初の回答者は3枚のうち1枚のドアを選んでいます。このドアに自動車がある確率は 1/3 です。選ばなかった2枚のドアの方に自動車があるかもしれません。すると選ばなかった2枚のドアのどちらかに自動車がある確率は2/3となります。そして2枚のうち外れのヤギがいる1枚のドアが開かれたたのですが、どちらかに自動車がある確率は2/3のままになります。

 回答者が左のドアを選び、正解のドアが左だったとしましょう。モンティ・ホールは回答者が選んだドアは開けませんから真ん中か右のドアを開くことになります。正解のドアは左ですから、モンティ・ホールが残りの2枚のドアのどちらかを開く確率は1/2になるのです。回答者は正解を選んでいるのでドアを変えると外れてしまいますが、この事象が起きる確率は1/3×1/2が2通りですから1/3になります。

 回答者が左のドアを選び、正解のドアが真ん中か右のドアのどちらかだったとしましょう。このときモンティ・ホールは回答者が選んだドアは開けません。残りの2枚のドアは1枚が当たりでもう1枚が外れです。ですからモンティ・ホールが開くドアは決まっています。回答者は不正解を選んでいるのでドアを変えると当たることになります。そして、この事象が起きる確率は1/3×1が2通りですから2/3になります。

 このことからドアを選び直さなければ自動車が当たる確率は1/3のままで、ドアを選び直せば自動車が当たる確率が 2/3 となりサリヴァンの言う通りに当たる確率が2倍になるのです。

 「モンティ・ホール問題」は直感的はには分かりにくい問題です。しかし、ドアが10枚だったらどうでしょうか。回答者は10枚のドアから1枚を選びます。当たりの確立は1/10です。このときモンティ・ホールは残り9枚のドアのうち外れのドアを8枚開くことになります。このときドアを選び直しても良いと言われたらあなたは残った2枚のドアのうちどちらを選びますか?

【関連サイト】

思考実験

思考実験の科学史

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2022年11月27日 (日)

4がIVで9がIXなのはなぜ?|ローマ数字のおはなし

 ローマ数の I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, Xがアラビア数字の1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 がに対応することは多くの人がご存じと思います。

 ローマ数字の表記方法の基本は画線法です。5未満は I の本数で表され、6以上は5を意味する V の右横にIを加えることによって表されます。ただし、4と9はそれぞれ IIII、VIIII で表すことも可能ですが表記を短くするため、IIIIは V の左横に5と4の差分の I を書いて IV と表記し、VIIIIは X の左横に10と9の差分の I を書いて IX と表記します。これを減算則といいます。

 この I~Xのローマ数字で表記できるのは1~10までです。100や1000を表すことができません。実はローマ数字には基本のI、V、Xの他に50、 100、 500、 1000 を表す L、 C、 D、 M があります。このL、C、D、Mに画線法と減算則が適用されます。

 下記のローマ数字はいくつを意味するでしょうか?

このローマ数字は?
このローマ数字は?

 たとえば51は LI です、52は LII 、55はLVです。54はLIVとなり、59はLIXとなります。同様に101は CI、103は CIII、104はCIV、106はCVI、109はCIXです。

 それでは140はどうなるでしょうか。100は Cです。40は50を意味するLの左横に50と40の差分の I を書いて XL と表記します。従って140は CXL になります。144は CXLIV となり、149は CXLIX になります。

 200はCC、300はCCCとなりますが、400は500のDの左横に500と400の差分を Cを書いて CD になります。444は CDXLIV、449はCDXLIXです。1429はMCDXXIX、1449はMCDXLIX、1999はMCMXCIXです。

 例を使って変換方法をまとめておきましょう。

13 (10×1)+(1×3)= X+III = XIII

24 (10×2)+(-1+5)= XX+IV = XXIV

49 (-10+50)+(-1+10)= XL+IX = XLIX

499 (-100+500) + (-10+100)+(-1+10) = CD + XC + IX

3494 (1000×3)+(-100+500)+(-10+100)+(-1+5)= MMM+CD+XC+IV= MMMCDXCIV

ということで上図の答えは3494でした。

 なお現代においては一般にローマ数字で表すことができるのは1~3999までとされており4000以上の数値を表すことができません。また0に相当する数字はありませんので 0 も表記できません。

 4000以上の数値を表すにはローマ数字にオーバーラインをつけると1000倍を表すことができます。IVの上にオーバーラインをつけると4000になります。MVのVの上にオーバーラインをつけても(-1000)+(5×1000)で4000となります。

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2021年12月21日 (火)

クロスワードの日(1913年12月21日)

 雑誌などに掲載されているクロスワード。ヒント(カギ)を頼りにタテヨコのマスに単語を当てはめていくパズルです。パズルは文字を入れる白マスと文字が入らない黒マスからできており、白マスにはカギに相当する数字が振られています。白いマスに予めカギの単語の1文字が入っているものもあります。

 クロスワードは1913年12月21日にニューヨークワールド紙の日曜版に世界で初めて掲載されました。同紙の編集者のアーサー・ウィンが製作したと言われています。掲載当初はワードクロスパズルという名前でしたが後にクロスワードに改められました。クロスワードは他の新聞にも掲載されるようになり、1924年にクロスワードを集めた本が出版されました。

世界初のクロスワード(ニューヨークワールド紙1913年12月21日)
世界初のクロスワード(ニューヨークワールド紙1913年12月21日)

 日本では1925年に「サンデー毎日」が日本語のクロスワード「嵌め字」を掲載しました。やがて懸賞付きのクロスワードが掲載されるようになると多くの人が挑戦するようになり人気のパズルとなりました。

 クロスワードに使われた最も長い単語は「Llanfairpwllgwyngyllgogerychwyrndrobwllllantysiliogogogoch]という単語で58文字もありました。この単語は「スランヴァイルプールグウィンギルゴゲリッヒルンドロブールスランティシリオゴゴゴッホ」でイギリスのウェールズ北西岸の島に実在する村の名前です。

クロスワード自動生成の世界 第七版

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2021年7月22日 (木)

円周率近似値の日(7月22日)

 7月22日は円周率近似値の日とされています。欧州では日付の表記が日本の「月/日」と逆で「日/月」となっています。7/22(7月22日)は22/7でこの割り算の答えは3.142857となります。

 古代ギリシアのアルキメデスは正九十六角形から円周率を(3 + 10/71)から (3 + 1/7)の間(3.14084から3.14286の間)にあると求めました。アルキメデスが求めた円周率の上限値(3+1/7)が22/7であることから、7月22日は円周率近似値の日とされています。

アルキメデス
アルキメデス

 正多角形から円周率を求める方法について興味がございましたらココログ 光と色と「円周率はどのように求められるか」をご一読ください。

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2021年3月14日 (日)

円周率の日(3月14日)

 3月14日は円周率3.14に由来して円周率の日とされています。さらに細かく3.14159まで考慮して3月14日01時59分もしくは3月14日15時9分に円周率の日を迎える場合もあります。

 円周率は任意の大きさの円の円周をその直径で割った値で記号πで表します。πはギリシア文字で周辺・円周・周などを意味するπερίμετροςあるいは περιφέρειαに由来します。

 円は相似形ですからその大きさに関係なく円周率は一定になります。また、円周率は整数の比で表すことができない無理数で循環しない無限小数です。

 π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288  …

 いま直径 d の円の円周を c とすると、

 c = πd

で表すことができます。ここで円周 c と同じ長さの直線と直径 d と同じ長さの直線を比較すると次の図のようになります。円周は直径の(3+α)倍であることがわかり、αを実測してみると約0.14dであることがわかります。

円周cと直径dの比較
円周cと直径dの比較

 この図からもわかる通り、目的に応じて円周率を3として概算することは理にかなっていると思います。しかし、同時に概算でどれぐらいのずれが生じるかを想像できないと「目的に応じて」を見失うことになってしまいます。

 たとえば直径 dの円周を 3d と概算したとしましょう。実際の円周は約3.14dですが、3dは直径 d の円に内接する正六角形の周の長さと同じです。3d はあくまでの直径 d の円周の近似値であり、内接する正六角形の周の長さと同じであることから、本当の円周は 3d より大きいことがわかります。

直径 dの円に内接する正六角形
直径 dの円に内接する正六角形

 さて、このように円に内接する正多角形を考えると、円周率を求めることができます。

この先のお話に興味のある方は、

 ココログ 光と色と円周率はどのように求められるか

をご覧ください。

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2013年9月 4日 (水)

Googleで「電卓」と検索すると!

 これも知っている人は知っているネタですが、Googleで「電卓」というキーワードで検索すると、次のように電卓が表示されます。

Photo

πで検索すると円周率3.14159265359が表示された状態で電卓が表示されます。eだと 自然対数の低であるネイピア数2.71828182846が表示されます。

2

ちなみに計算結果が表示されている部分はテキストのコピーができます。

また、テキスト入力も可能です。例えば、2*5と入力して[ENTER]キーを押すと、結果10を表示してくれます。

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2013年8月13日 (火)

【問題】5+4=19 5+3=28 では5+1は?

どこかで見かけたであろう算数の問題(^^ゞ

5+4=19 

5+3=28 

では

5+1はいくつでしょう。

ちなみに

8+1=79

9+1=810

となります。

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2012年9月 5日 (水)

【問題】1+2+4+8+…+Xを一瞬で解く方法

 1+2+4+8+…+X の答えを一瞬で求める方法があります。どのように計算したら良いでしょうか。たとえばXが512だったとすると、

  1+2+4+8+16+32+64+128+256+512

 を計算するだけです。

 あることに気が付くと、暗算でほとんど一瞬で計算できます。

 どのように工夫すると簡単に計算できるのでしょう?

【関連記事】

【問題】5+4=19 5+3=28 では5+1は?

頭に浮かべた数字にある計算を行うとびっくりする結果に

続・頭に浮かべた数字を当てる計算

思考実験「モンティ・ホール問題」

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2012年8月17日 (金)

続・頭に浮かべた数字を当てる計算

 以前、「頭に浮かべた数字にある計算を行うとびっくりする結果に」という記事を紹介しましたが、その第二弾です。

 まず、3桁の数字を思い浮かべてください。数字が重複していても構いません。

 その数字が○×△だったとしましょう。この数字を2つ並べて6桁の数字にしてください。つまり、○×△○×△という数字になります。

 ○×△○×△の数字を13で割ってください。たぶん、割り切れると思います。その答えをAとしましょう。

 次に、Aを11で割ってください。これも割り切れると思います。その答えをBとしましょう。

 最後に、Bを7で割ってください。答えはどうなったでしょうか。

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