思考実験「モンティ・ホール問題」

　「モンティ・ホール問題」は米国のゲームテレビ番組「Let's Make a Deal （LMAD）」で出題された確率に関する問題です。このとき司会を務めていたモンティ・ホールの名前に由来し「モンティ・ホール問題」と呼ばれるようになりました。

　「モンティ・ホール問題」は次のような問題です。

　回答者の前に3つのドアがあります。3つのドアのうち1つのドアは当たりでドアを開けると景品の自動車があります。残りの2つのドアは外れでドアを開けるとヤギがいます。回答者が3つのうち1つのドアを選択すると、司会のモンティ・ホールが残り2つのドアのうちヤギがいるドアを1つ開いて回答者にヤギを見せます。司会者はここで回答者に選ぶドアを変更しても良いと言われます。さて回答者はここでドアを変更するべきでしょうか。

　さっそく考えてみましょう。3枚のドアのうち自動車があるのは1枚のドアですから当たる確率は1/3です。ここで回答者は左側のドアを選び、モンティ・ホールは右側のドアを開いて外れのヤギを見せたとしましょう。下図のような場合、当たりの自動車があるのは左のドアか真ん中のドアのどちらかになります。

モンティ・ホール問題

　この問題に米国のコラムニストのマリリン・ボス・サヴァントが自身の担当する雑誌のコラムで「正解はドアを変更する。ドアを変更すれば当たる確率が2倍になる」と主張しました。するとこの主張に対して多くの反論が寄せられました。

　反論の多くは残った2枚のドアのどちらかに当たりの自動車があるのだから、これはコイン投げで表か裏が出る確率 1/2と同じであり、どちらのドアを選んでも当たる確率は五分五分で変わらないというものでした。反論する者の中には多くの学者もいました。

　これらの反論に対してサヴァントは、ドアを変えれば当たる確率は2/3、外れの確率は1/3になるが、ドアを変えなければ当たる確率は1/3のままだと説明しました。しかしながら、この説明に対する反論も多数ありました。

　はたしてサヴァントの主張は間違っているのでしょうか。多数派の主張が正しいのでしょうか。

　ここでモンティ・ホールが外れのドアを1枚開いた状態で事情も経緯も知らない人がやってきたと考えましょう。モンティ・ホールがその人に2枚のドアのうちどちらか一方のドアに当たりの自動車があるので好きな方のドアを選んでくださいと言ったとします。この場合、この人が自動車を当たる確率は1/2になります。そうであれば最初の回答者が自動車を当てる確率も 1/2 になりそうですが、この人と最初の回答者では有している情報が異なるのです。

　最初の回答者は3枚のうち1枚のドアを選んでいます。このドアに自動車がある確率は 1/3 です。選ばなかった2枚のドアの方に自動車があるかもしれません。すると選ばなかった2枚のドアのどちらかに自動車がある確率は2/3となります。そして2枚のうち外れのヤギがいる1枚のドアが開かれたたのですが、どちらかに自動車がある確率は2/3のままになります。

　回答者が左のドアを選び、正解のドアが左だったとしましょう。モンティ・ホールは回答者が選んだドアは開けませんから真ん中か右のドアを開くことになります。正解のドアは左ですから、モンティ・ホールが残りの2枚のドアのどちらかを開く確率は1/2になるのです。回答者は正解を選んでいるのでドアを変えると外れてしまいますが、この事象が起きる確率は1/3×1/2が2通りですから1/3になります。

　回答者が左のドアを選び、正解のドアが真ん中か右のドアのどちらかだったとしましょう。このときモンティ・ホールは回答者が選んだドアは開けません。残りの2枚のドアは1枚が当たりでもう1枚が外れです。ですからモンティ・ホールが開くドアは決まっています。回答者は不正解を選んでいるのでドアを変えると当たることになります。そして、この事象が起きる確率は1/3×1が2通りですから2/3になります。

　このことからドアを選び直さなければ自動車が当たる確率は1/3のままで、ドアを選び直せば自動車が当たる確率が 2/3 となりサリヴァンの言う通りに当たる確率が2倍になるのです。

　「モンティ・ホール問題」は直感的はには分かりにくい問題です。しかし、ドアが10枚だったらどうでしょうか。回答者は10枚のドアから1枚を選びます。当たりの確立は1/10です。このときモンティ・ホールは残り9枚のドアのうち外れのドアを8枚開くことになります。このときドアを選び直しても良いと言われたらあなたは残った2枚のドアのうちどちらを選びますか？

【関連サイト】

・思考実験

・思考実験の科学史

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