ルート2 （ √2 ） が無理数であることの証明－背理法

背理法は古代ギリシャのエレア学派の哲学者ゼノンが発明した証明法です。

三平方の定理において、直角二等辺三角形の斜辺をｃ、残りの２つの辺をａａ、ｂとすると、次の関係があります。

ｃ^２ ＝ ａ^２ ＋ ｂ^２　　①

ここで、ａとｂを１とすると

ｃ^２＝ ２　②

となります。ｃは√２であり、無理数ですが、ここでｃは有理数であると仮定します。すると、ｃは同じ約数をもたない２つの数字ｍとｎの比として表すことができます。

ｃ　＝ ｍ／ｎ　③　　

③式の両辺を２乗すると

ｃ^２ ＝ ｍ^２ ／ ｎ^２　④

となります。ｃ^２は２ですから、

ｍ^２ ／ ｎ^２　＝　２　⑤

より、

２ｎ^２　＝　ｍ^２ 　⑥

となります。ここで、２ｎ^２は必ず偶数となるため、ｍも偶数でなければなりません。そこで、

ｍ　＝　２ｋ　⑦

とします。⑦式を⑥式に代入すると、

ｎ^２　＝　２ｋ^２　⑧

となります。

⑧式において右辺は偶数ですので、ｎ^２も偶数となります。すると、ｍもｎも偶数ということになり、ｍとｎは２という公約数をもつことになり、割り切れてしまいます。すると、③式において、ｍとｎは同じ約数をもたないとしたことに矛盾が生じます。

この矛盾は√２を有理数と仮定したことから生じています。よって、√２は有理数ではなく、無理数となります。

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