日食で証明されたアインシュタインの相対性理論

　ボールを投げると放物線状に曲がりながら落下するように、私たちの身の回りにある質量をもつものはすべて地球の重力に引かれて地面に落下します。

　ニュートンは光は粒子であるから、光は投げたボールのように重力に引かれて落ちると考えました。ただ、光の速度があまりにも速いため、地球上では観測できず、光は弾丸のように直進すると考えたのです。

参考：夜明け前：ニュートンの光の粒子説－光の直進の説明

　アインシュタインはエネルギーと質量は等価であり、相互に交換可能であることを示しました。彼のこの理論によれば、エネルギーをもっている光も重力の影響を受けて曲がることになります。

　アインシュタインは自ら導き出した結果から、光も重力で曲がると考えました。彼は大きな重力が働いているとろころでは空間が歪むため、光の道筋も曲がると考えました。

　つまり、光は歪んだ空間の中を直進するが、空間が曲がっているのだから、その様子を外から見ると光が曲がって進んでいるように見えると説明したのです。

この理論は１９１９年５月２９日の皆既日食のときに、太陽の陰に隠れて見えないはずの星が見えたことによって確かめられました。つまり、星の見える位置がアインシュタインの予言通りにずれていて、光の曲がり具合が太陽のまわりの空間の曲がり具合と同じであることが分かったのです。

つまり、重力によって空間が曲がった分だけ、光も曲がるということです。

下記の映像を見ると上図のイメージがつかめると思います。

Lente gravitacional durante un eclipse de Sol

http://www.youtube.com/watch?v=T884m5_QzWM

　さて、エネルギーと質量が同等で、光が重力によって曲がるならば、光に質量があると言っても良いのしょうか。私たちが物体の質量を考えるとき、物体は静止しています。この静止した物体の質量を静止質量といいます。光のような素粒子の質量も静止質量で表しますが、光の静止質量はゼロになります。

　ただし、光は静止することなく常に一定の速度で動いていますから、光の静止質量がゼロであるというのは便宜的な意味でしかありませんが、光はの光のエネルギーに相当する質量をもつと考えることができます。

　エネルギーと質量が同等であるということについては、重力は質量だけでなくエネルギーを持ったものと相互作用するので、光も重力の影響を受けると考えて良いのです。

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量子力学のおすすめの本

量子力学の本は買ってきて読んでいると挫折してしまうことも多いと思います。そのなかでも、下記の２冊はとても面白く読み切ることができると思います。

２冊を読み切るためには、[図解]量子論がみるみるわかる本(愛蔵版) を先に読んで、それから光と物質のふしぎな理論―私の量子電磁力学 (岩波現代文庫)を読むことをおすすめします。

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レンズの本

レンズの本というとたくさんありますが、専門書が多いのに対して入門書はそれほど多くありません。いきなり専門書から入ると数式ばかりで難しくて挫折してしまいます。

先日どんな本で勉強したら良いかと聞いてきた知人がいたのでこちらでも紹介しておきます。

レンズの本の一覧

レンズのことを勉強しようと思ったら、まず入門書はこの２冊が良いと思います。レンズの話ですから、重なる部分はたくさんありますが両方読んでおくと理解が深まります。

そして、これでだいたい理解できたら、おそらくこれらの本には掲載されていない数式の求め方などを知りたくなるはずです。

自分がなかなか良いなと思っているのは下記の本です。

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凸レンズの像点を求める方法(3)

関連記事：凸レンズの像点を求める方法(2)の続きです。

有限距離にある物体の１点から出てレンズにやってくる無数の光線は、それぞれさまざまな角度の光線となりますが、無限遠の１点から出てレンズやってくる光線は、レンズに角度のある平行光線として入ります。例えば、光軸に平行な平行光線は、光軸上にある１点から出た光であることを意味しています。角度がある平行光線は光軸から、その角度分だけずれたところにある点からやってくる光線です。

これら平行光線は凸レンズで屈折した後、焦平面上の１点に集まり、そこで像を結びます。つまり、ある角度でレンズに入る光線が像を作る位置は、その角度でレンズの中心を通る光線が焦点面と交わったところになります。ですから、光線の角度さえわかっていれば、作図は有限距離に物体がある場合よりも簡単です。

私たちは物体の大きさを目に入ってくる光線の角度として認識しています。遠くにある物体の大きさは下の図のように認識しています。

物体の大きさと物体までの距離がわかっている場合、物体の大きさをy、物体までの距離をL（図で∞の部分）とすると、次の関係があります。

y = L ・ tanθ

つまり、yとLがわかっていればθは求めることができます。

例えば、太陽と地球の距離は約１億５０００万キロメートル、太陽の直径は１３９万２０００キロメートルです。Lに150000000、yに太陽の半径1392000/2 を代入して、θを求めると、

tanθ= 0.00464

で、θは約0.27度となります。太陽の視野角は約0.5度ですから、だいたい一致します。

何光年も離れた遠くの星の場合はLがyよりも十分に大きいということになりますから、

tanθ= 0

となり、θは0度になり、光軸にほぼ平行に光線がやってくるということです。つまり、点光源のようにしか見えないということです。

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凸レンズの像点を求める方法(2)

関連記事：凸レンズの像点を求める方法(1)の続きです。

前回は「下図が与えられたとき、光軸上にあるM点の像点M'はどこに来るでしょうか」というところで記事が終わりました。

この問題を解くヒントは「無限遠にある物体の実像は焦平面にできる」ということです。無限遠にある物体の１点から出た光はレンズに角度をもつ平行光線として入ります。その平行光線は焦平面で交わり像を結びます。

平行光線だけに着目すると、「物体が無限遠にあるのか有限距離にあるのか」、「光線がどこからやって来ているのか（光線が同じところからか出ているのか、違うところから出ているのか）」、「光線が像を作るのか、作らないのか」に関係なく、レンズに入る平行光線は焦平面上のどこか１点で交わるということを意味しています。

それを踏まえて、M点からレンズの主平面に対して光線を描き、その光線と平行な光線を描いてみます。

この２つの光線はレンズで屈折して折れ曲がりますので、レンズを出た後、どの方向に進むのかわかりません。つまり、この２つの光線ではM'は求められないということになります。

そこで別の平行光線で使えるものがないか考えてみましょう。

レンズを出た後、そのまま真っ直ぐに進む光線を使えば良いことがわかります。この光線はレンズの中心（主点）を通る光線です。この光線を使えば焦平面のどこに平行光線が集まってくるのかがわかります。

作図の手順は下記の通りになります。

以上のようにＭ’を求めることができました。

ある一点から出て、ある角度でレンズに入る光を描いてみると下の図のようになります。

光軸に平行な光線を入れて描いてみると、次のような感じです。

物体が有限距離にあるときは、この方法を使うまでもなく、前回説明した３本の光線で像ができる位置を求めれば良いのですが、物体が無限遠にあるときは、３本の光線で作図するわけにはいきません。物体が無限遠にあるときに、わかっているのは光線の角度だけだからです。物体が無限遠にある場合の作図は次回で紹介します。

関連記事：凸レンズの像点を求める方法

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凸レンズの像点を求める方法(1)

中学理科では凸レンズの像の位置を求めるのに、次のような作図をします。

次の３つの光線を使うと、像ができる位置を見つけることができます。

• ①レンズの軸（光軸）に平行に凸レンズに入る光線は、凸レンズを出た後、後側焦点を通る
• ②凸レンズの中心を通る光線は、凸レンズを出た後、そのまま直進する
• ③凸レンズの前側焦点を通る光線は凸レンズを出た後、レンズの軸に平行に進む

実際には、①と②、もしくは　②と③の光線を使えば像ができる位置を見つけることができます。

それでは、下図が与えられたとき、光軸上にあるM点の像点M'はどこに来るでしょうか。①と③の光線を使わなくても、M’の位置を見つけることができます。②の光線は使います。

関連記事：凸レンズの像点を求める方法

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レンズの公式の導出(1) 実像の場合

レンズの公式というと下記の式を暗記している人も多いと思います。

あまりにも綺麗すぎて感心してしまいますし、それゆえ、簡単に暗記することができますね。

この式がどのようにして導かれるのか考えてみましょう。

凸レンズでできる実像の図を下に示します。

この図を考えるだけで、レンズの公式を導くことができます。

この図で△ＡＢＯと△Ａ’Ｂ’Ｏが相似形であることに注目します。

△ＡＢＯと△Ａ’Ｂ’Ｏが相似形ですから、

ＡＢ／Ａ’Ｂ’ ＝ ＢＯ／Ｂ’Ｏ ＝ ａ／ｂ　…　（１）式

の関係にあります。

次に、△ＰＯＦと△Ａ’Ｂ’Ｆが相似形であることに注目します。

△ＰＯＦと△Ａ’Ｂ’Ｆが相似形ですから、

ＰＯ／Ａ’Ｂ’ ＝ ＯＦ／Ｂ’Ｆ ＝　ｆ／（ｂ－ｆ）　…（２）式

の関係にあります。

次に、ＡＢ ＝ ＰＯ であることに注目すると、（１）式と（２）式は等しくなることがわかります。

つまり、

ａ／ｂ ＝　ｆ／（ｂ－ｆ）　

の関係にあることになります。この式を変形してみましょう。

ａｂ － ａｆ ＝ ｂｆ　

両辺を ｆ で割ると

ａｂ／ｆ － ａ ＝ b

ａｂ／ｆ ＝ ｂ ＋ ａ

両辺を ａｂ で割ると、

となり、レンズの公式を導くことができます。

さてレンズの倍率はどのようになるでしょうか。倍率を ｍ とすると、

ｍ ＝ Ａ’Ｂ’／ＡＢ　

です。△ＡＢＯと△Ａ’Ｂ’Ｏが相似形です。ｍは（１）式の逆数ということになります。

ｍ ＝  Ａ’Ｂ’／ＡＢ　＝ ｂ／ａ

となります。簡単ですね。

凸レンズでできる虚像の式、凹レンズでできる虚像の式も同様に相似形の三角形を考えると導くことができます。これはまた別の機会に記事にします。

下記の本にも導出方法が掲載されています。

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ブログ内関連記事：レンズの公式の導出

クォーク―(南部陽一郎著、ブルーバックス)

ノーベル物理学賞を受賞した南部陽一郎博士の著作「クォーク―素粒子物理はどこまで進んできたか (ブルーバックス)」がamazon.co.jpのベストセラー＞科学テクノロジー＞物理学でトップになっています。ブルーバックスで今もっとも売れている本にもなっているようです。

この本は10年ほど前にブルーバックスで販売された本です。素粒子物理学の本というと難しいのではないかと思いますが、この本はとてもわかりやすいと思います。大学で学ぶ程度の物理の基礎知識があれば楽しく読めるのではないかと思います。

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換気扇の回転とベンハムの独楽

ベンハムの独楽というのがあります。ベンハムの独楽は白黒の模様の円盤を回転させると色が見えるというものです。なぜ、色が見えるのかはまだよくわかっていませんが、網膜にある赤・緑・青の光を感じる錐体細胞の反応差によるものではないかと考えられています。この現象は赤から紫色の可視光線をまんべんなく含んだ白色光のもとでも生じますが、単色光のもとでも生じます。色に関する錯視と考えられています。

とすると、ベンハムの独楽を回して色が見えるのは、生物である人間のなせる技ということになります。デジカメで撮影しても、人間が見たときのような色は写らないということになります。

下の写真は会社のトイレにある換気扇です。換気扇の羽に真っ黒なホコリがところどころに付着しています。この換気扇を回転させると青や赤などの色が見えます。

で、換気扇が回っているところをデジカメで撮影してみました。

あれっ？ちゃんと色が写っているのです。

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考えられるのは光源が蛍光灯であるということです。蛍光灯は非常に短い時間間隔で点滅しています。蛍光灯の内側には蛍光物質が塗られていて、そこに電子が当たることによって光ります。白色光が出るわけですから、蛍光物質は一種類しかありません。電子があたって蛍光物質が励起され基底状態に戻ったときに色を出す。これが繰り返されているわけですが、出てくる光によって若干の時間のずれがあるのかもしれません。とすると、デジカメに色が写りそうな感じもします。どうなのでしょう・・・

フェルマーの原理とスネルの法則の関係

フェルマーの原理とスネルの法則の関係を考えてみましょう（リクエストのあった式の導出です）。

■フェルマーの原理

　まず下図の左を見てください。私たちがＡ地点からＢ地点に向かうとき、その経路は無数にあります。A地点からO地点を経由してB地点に向かう、A地点からB地点に直接向かう、あるいはA地点からB地点にジグザグに進んで向かうなどがあるでしょう。しかし、普通は最短距離となるＡ地点とＢ地点を直線で結んだ経路を取ると思います。最短距離を選べばもっとも早く目的地のB地点に到達するからです。つまり最短時間で目的に到達できるということです。ただし、これはどの経路を通っても移動速度が変わらないという大前提があります。

　最短距離が必ずしも、最短時間にならない場合もあります。下の図の右を見てください。右の図は海岸をイメージしたものです。A地点からO地点のところまでは砂浜、O地点からB地点までは海となっています。海岸の砂浜のＡ地点から、海上のＢ地点まで一番早く到達する経路を考えてみましょう。ここで問題になるのは、海の中を移動する速さは砂浜を移動する速さより遅いということです。Ａ地点とＢ地点を直線で結ぶ①の経路は最短距離ですが、この経路だと海の中を走る距離が一番長くなります。一番早くＢ地点にたどりつくことができるのは②の経路のようになるのです。

　光は同じ媒質を進むときは直線しますが、光がある媒質から別の媒質に入るとき、光は媒質と媒質の境界面で進む方向が折れ曲がり屈折します。下の図は光が空気中から水中に入るときの様子を示したものです。

　光の速度は真空中ではおよそ秒速３０万キロメートルです。空気中の光の速度は真空中とほとんど変わりませんが、水中での光の速度は約秒速２２．５万キロメートルになります。光が空気中から水中に入ったとき、光はある角度で折れ曲がりますが、その角度の大きさ、つまり屈折角の大きさは光が水中を進む距離が短くなるようになるのです。

フランスの数学者のフェルマーは「最短時間で到達できる経路が、実際に観測できる光の通る道筋である」と説明しました。この原理をフェルマーの原理といいます。

■スネルの法則

　オランダの天文学者でもあり数学者でもあったスネルは、入射角θ₁と屈折角θ₂の関係について次のような図を示し、入射光と垂線、屈折光と垂線とが作る２つの三角形の高さの比が常に一定になることを導き出しました。

　スネルの法則の式を使うと、屈折率が異なる２つの媒質の境界面で光がどれくらい屈折するのかが分かります。例えば、光が入射角30度で空気中から水中に入った場合、空気の屈折率n1は1ですから、屈折角は sinθ₂=sinθ₁/n₂ で求めることができます。屈折角は22度ということになります。

■ スネルの法則は最短時間の経路を示すか

スネルの法則で導かれる光の道筋が本当に最短時間となっているのかを考えてみましょう。＜時間＝距離/速さ＞ですから、時間が最小となるような距離になっているかどうかを確かめられば良いということになります。

次のような図で考えてみましょう。

　光はP点を出て、O点で屈折して、Q点に向かいます。光が移動する距離はPO+QOということになります。媒質１での光の速さをv1、媒質2での光の速さをv2とすると、光がP点からQ点に移動するのに必要な時間tは

t = PO/v1 + QO/v2

となります。POおよびQOは次の三平方の定理の関係から求めることができます。

PO² = a² + x²

^より

PO = ( a² + x² )^1/2

また、

QO² = b² + (c-x)²

より

QO = ( b² + (c-x)² ) ^1/2

つまり、

t = ( a² + x² )^1/2/v1 + ( b² + (c-x)² )^1/2/v2

となります。この式の極小値を求めれば良いということになりますから、dt/dx=0を求めれば良いことになります。

ちょっと難しそうですが、合成関数の微分を考えれば簡単です。右辺の第１項の分子について考えてみましょう。

u1 =  ( a² + x² )　とし、t1 = u1^1/2　とします。

dt1/du1 = 1/2 u1^(1-1/2) = 1/2 u1 ^-1/2

du1/dx = 2x

dt1/dx = (dt1/du1)(du1/dx)

= (1/2 u1 ^-1/2 )(2ｘ)

= x / (u1^1/2)

= x / ( a² + x² )^1/2

ということになります。

第２項の分子も同じ方法で解くことができます。

u2 = b² + (c-x)²とし、t2 = u2^1/2　とします。

dt2/du2 =  1/2 u2 ^-1/2

du2/dx = -2 (c-x)

dt2/dx = (dt2/du2)(du2/dx)

=  (1/2 u1 ^-1/2 )(-2(c-x))

= -(c-x) / (u2^1/2)

= - (c-x) / ( b² + (c-x)² )^1/2

となります。

tの微分は

dt/dx　= x / v1( a² + x² )^1/2  + - (c-x) /v2 ( b² + (c-x)² )^1/2

PO = ( a² + x² )^1/2　QO² = b² + (c-x)² ですから

dt/dx = x/(v1PO )+ -(c-x)/(v2QO)

ここで、x/PO = sinθ1、(c-x)/QO = sinθ2であることを考慮すると、

dt/dx = sinθ1/v1 - sinθ2/v2

dt/dx = 0 ですから

sinθ1/v1 =  sinθ2/v2

v1、v2は光速をc、媒質１と媒質2の屈折率n1、n2を用いると、

v1 = c/n1、v2 = c/n2

となります。これを上の式に代入すると、

n1 sinθ1 = n2 sinθ2

となり、スネルの法則の式となります。

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水深100mでは何気圧かかるか

圧力は単位面積あたりにかかる力の大きさです。ですから、水深100 mの水底で 1 cm³あたりにかかる力を考えれば良いということになります。

水深100 mで1 cm²の面積の水底の上部には、1 cm²×100×100 = 10,000 cm³の水があります。

水の密度は 1 g/cm³ですから、10,000 cm³の水の質量は10,000 g = 10 kgということになります。

１気圧はおよそ1 kg/cm²ですから、水深100 mにおける水圧は約１０気圧ということになります。水面には大気圧が１気圧かかっていますから、水深100mは約11気圧ということになります。

大気圧（１気圧）＋水深1 mごとに0.1気圧と考えておくと良いでしょう。

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汎用の携帯電話のデジカメも1000万画素の時代に

2008年9月18日の日経産業新聞の１面に出ていました。

携帯電話に登載されているデジカメのレンズはプラスチック製で非球面のモールドレンズです。モールドという言葉からわかる通り、これは型を使った成型によって作られます。

ちょっと乱暴な図ですが、下記のような感じです。

この図のように凸型と凹型の金型の間に溶けたプラスチックを挟んで押しつけて、レンズの形を作ります。型の形を自由に、かつ精巧に作ることができるようになったため、小さな非球面レンズが作れるようになったのです。

さて、この図を見るとわかると思いますが、どんなに精巧な型が作れても、型と型をまっすぐにぴったりと重ね合わせることができなければ精巧なレンズは作れません。

これを実現できる技術ができたため、携帯電話に登載できるような小さなレンズが作れるようになったのです。

ところが、上の図の金型には解決できない問題がありました。それはレンズの中心合わせです。凸型と凹型の金型をあわせるときのわずかなズレで、レンズの中心がレンズの表と裏で２～３マイクロメートルぐらいずれているのです。極端に描くとこのような感じです。

レンズの中心がズレているということは、光軸がずれていることになりますから、レンズでできる像がぼやけることになります。

これは現在の携帯電話のデジタルカメラではほとんど問題になりません。

しかし、携帯電話のデジタルカメラの画素数をあげていくと問題が起こります。画素数を大きくするということは、光を受けるセンサーのひとつひとつの画素が大きさが小さくなるということです。つまり、レンズの中心のわずかなずれで像がぼやけることになります。

きれいな写真が撮れるようにするためには、レンズの中心のずれをできる限りおさえる必要があります。これは可能ですが、量産が難しいという問題がありました。

この問題を解決するべく、宮崎県の東伸精工という会社が、レンズの中心のずれを極力おさえて量産できる金型を開発しました。

これもまた乱暴な図なのですが、こんな感じです。

この図のように凸型の金型にベアリングを入れて押すような工夫がされています。また、凸型の金型のわずかなずれを感知して、右側の凹型の金型の位置を自動的に微調整できるようになっているそうです。これによって、レンズの表と裏での中心のずれを0.5マイクロメートル程度までにすることができるようになったそうです。

中心のずれが小さいということは、像を綺麗に造れるということです。しかも、量産できるわけですから価格も従来と同じぐらいすることが可能です。つまり、汎用の携帯電話のデジカメの画素数を飛躍的に向上させることができるというわけです。

携帯電話　カメラ 1000万画素　でGoiogle検索すると、下の方に1000万画素のカメラを登載したデジカメが出てきます。実際にはもうあるらしいのですが、これらはおそらくセンサーが大きいのではないかなと思います。あるいはレンズを丁寧に作っていて量産の汎用の携帯電話という感じではないのかもしれません。

小さなレンズというとＣＤやＤＶＤのピックアップにも使われています。より高密度なブルーディスクは屈折率の関係でガラスのレンズを使っているそうですが、この技術を使えばプラスチックのレンズも使えるようになるそうです。

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定常波

　振動数、振幅、速さが同じで進行方向が逆の２つの波が重なり合うときに現れる波。定在波ともいう。

　重なり合う前の２つの波は山や谷の位置が進んでいくが、重なり合ってできた波は山や谷の位置が変わらず、その場で振動しているだけで進んでいないように見える。定常波の媒質の振動が最も激しい部分を腹、全く振動しない部分を節という。

　波が進行方向に対して垂直な面で反射すると、波は進行してきた方向に跳ね返される。このとき、もとの波と反射して戻って来る波の重ね合わせで定常波ができる。

　ギターなどの弦楽器の弦は両端が固定されているが、弦をはじいて振動させると、弦の両端が節となる定常波が生じ、その振動数が弦の音程となる。

　管楽器の場合は、管口で発生した空気の振動の波が管内で反射を繰り返し、波が重なり合い定常波が生じる。両端が開いた開管では、両端が腹となる定常波を生じる。瓶の口に息を吹き込むような楽器は、片方が閉じた閉管であり、閉じられた端が節となる定常波が生じる。発生した定常波の振動数が管楽器の音程となる。

　蛇腹のついたホースをぐるぐる回すと音が出るが、これもホースの内部でできる定常波によるものである。

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波

　波とは周期的な変化が空間を伝わる現象。波が伝わる空間物質を媒質という。

　例えば、音波は音源の振動が気体や液体や固体を媒質として伝わる波である。地震は震源の揺れが波として地面を伝わったものである。また、波の中には媒質を必要としないものもある。光や電波などの電磁波は磁界の変化と電界の変化が繰り返しながら伝わる波であり、真空中も伝わる。

　波は空間を伝わるが、物質の移動を伴わない。媒質となる物質はその場で振動するだけである。木の葉が浮いている水面に波が広がるとき、葉がその場に留まっている様子を見ることができる。波は物質の移動を伴わずにエネルギーを伝達する現象である。

　波には波の進行方向に対して垂直に振動する横波と、波の進行方向に対して水平に振動する縦波がある。横波はピンと張った糸をはじいたときにできる波である。縦波はバネが伸縮するような振動で伝わる波で疎密波ともいう。音波は縦波であり、電磁波は横波である。

　波の性質は振動数、波長、周期、振幅などの物理量で表わされ、反射、屈折、回折、干渉などの現象を示す。

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気化熱（蒸発熱）

　液体を気体に変化させるのに必要な熱量のこと。蒸発熱ともいう。液体が気体になるときに周囲から吸収する熱量と考えても良い。

　気化熱は単位物質量の液体をすべて気体にするのに必要な熱量で表わされる。普通は１気圧において、物質１ｍｏｌまたは１ｇあたりの熱量として表わされ、その単位は［Ｊ／ｍｏｌ］や［Ｊ／ｇ］などである。Ｊの代わりにｃａｌが使われることもある。

　物質が液体から気体に変わるとき、物質を構成する分子の運動が激しくなり、分子同士が集まろうとする分子間力が小さくなる。気化熱は液体が気体になるのに必要な分子の運動エネルギーに相当すると考えても良い。

　気化熱が大きい物質ほど分子間力が大きく蒸発しにくく沸点が高い。例えば、水は分子間に水素結合が働いているので気化熱が大きく沸点が高い。

　打ち水で気温が下がるのは水が液体から気体になるときにまわりから熱を奪うからである。汗をかいているときに扇風機の風をあびるとより涼しく感じるのは、体の表面の汗の気化が風によって促進されるからである。

　スプレー缶を噴射したり、携帯ボンベを使っていると缶が冷たくなるのも気化熱のためである。エアコンや冷蔵庫も気化熱を利用して空気を冷やしている。コップの水を飲むように首を上げ下げする水飲み鳥という玩具も気化熱を利用している。

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望遠鏡

　望遠鏡は遠くの物体を拡大して見るための光学機器である。赤外線や電波を利用した望遠鏡もあるが、単に望遠鏡といえば可視光線による光学式望遠鏡のことである。

　物体を拡大して見ることは凸レンズ一枚のルーペでも可能であるが、望遠鏡の画期的な発明はレンズを複数使ったことである。オランダのリッペルスハイは１６０８年に眼鏡用の凸レンズと凹レンズを筒にはめて凹レンズ側から覗くと、遠くのものが近くに見えること発見した。このことから彼が望遠鏡の発明者と言われている。

　凸レンズと凹レンズを使った望遠鏡はガリレオ・ガリレイによって改良された。ガリレオは１６０９年に自作の望遠鏡で天体の観測を行い、観測結果をもとに地動説を主張するようになった。このタイプの望遠鏡をガリレオ式望遠鏡またはオランダ式望遠鏡という。ガリレオ式望遠鏡は構造が簡単で、拡大されたものが正立して見えるため、簡易な地上用望遠鏡として使われている。しかし、倍率を上げると視野が狭くなるという欠点がある。

　１６１１年、ドイツの天文学者ケプラーは、凸レンズを２枚組み合わせた望遠鏡を考え出した。この望遠鏡のことをケプラー式望遠鏡とう。ケプラー式望遠鏡は物体が倒立して見えるが、倍率を高くしても視野が狭くならないため、天体望遠鏡として使われている。

　レンズを使った望遠鏡は倍率を上げると物体の色が正しく再現できないという欠点がある。プリズムに光を通すと光が屈折して虹のような色の帯ができるが、レンズにも屈折の働きがあるため物体に色がついて見えてしまう。ニュートンは鏡を使うとこの欠点が補えると考え、１６１８年に凸レンズと凹面鏡を使った反射式望遠鏡を発明した。

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凸レンズと凹レンズ

レンズは透明なガラスやプラスチックで作られており、光を屈折させて集めたり、広げたりする道具である。

一般的に、真ん中が厚くて周辺部が薄い球面をしたレンズを凸レンズ、真ん中が薄くて周辺部が厚い球面をしたレンズを凹レンズと言う。

凸レンズは物体を置く位置を焦点の外側にするか内側にするかによって実像と虚像を作る。凹レンズは光を広げる働きしかないので虚像を作るのみで実像を作らない。

凸レンズで作られている身近な道具はルーペやカメラや老眼鏡である。ルーペで拡大されて見える物体は虚像である。カメラはフィルム面に物体の実像を写すことで写真を撮る。老眼鏡は老眼で屈折力が弱くなった水晶体の屈折力を凸レンズの光を集める働きで補うものである。

凹レンズは光を広げる働きしかないので、凹レンズ一枚で作られた身近な道具はほとんどないが、近親の眼鏡は凹レンズである。近親の眼鏡は近親で屈折力が強くなった水晶体の屈折力を凹レンズの光を広げる働きで補うものである。

凹レンズの光を広げる働きを利用すると凸レンズの焦点位置のずれを小さくすることが可能である。望遠鏡やカメラのレンズはより綺麗な実像や虚像を得るため凸レンズと凹レンズを組み合わせて作られている。最近では表面の形が非球面の凸レンズや凹レンズが使われるようになっている。

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ボイル－シャルルの法則

気体の体積Vは絶対温度Tと比例関係にあり、圧力pと反比例の関係にあるという、気体の体積と絶対温度と圧力の関係を表わす法則。

ロバート・ボイルが発見した「温度が一定のもとでは、気体の体積Vは圧力pと反比例の関係にある」というボイルの法則と、ジャック・シャルルが発見した「圧力が一定のもとでは、気体の体積Vと絶対温度Tは比例関係にある」というシャルルの法則を組み合わせたものです。これを式で示すと次のようになります。

pV　=　一定・・・・ボイルの法則

V/T = 一定・・・・シャルルの法則

pV/T　=　一定・・・・・ボイルシャルルの法則

ボイル・シャルルの法則が成り立つ気体を理想気体といいます。理想気体とは、気体の分子の大きさを無視でき、気体の分子間に働く力を無視できる気体のことです。

上式 pV/T は気体の量が同じであれば、気体の種類によらず同じ値となります。気体の量を 1 molとしたとき、

pV/T = R

と書くことができます。このRを気体定数と呼びます。R = 8.31 [J/K・mol]です。

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浮力

流体中の物体はあらゆる表面で流体からの圧力を受けています。

物体にかかる圧力は深いほど大きくなるので、物体の下側の部分の方が上側の部分より大きな圧力を受けることになり、物体の上側と下側で圧力差が生じます。この圧力差によって浮力が生じます。

物体の面にかかる圧力は面に対して垂直にかかるため、それぞれの面にかかる圧力の合力は重力と逆向きに働きます。ですから、浮力は重力と逆向きに働きます。

図のように水の中に直方体を沈めた場合、直方体の面にかかる圧力は下側の方が深い分だけ大きくなります。直方体の横方向に働く、圧力は相殺されることになるので、直方体の上面と下面にかかる圧力の差が浮力となります。どんな複雑な形をした物体でも、物体の表面にかかる圧力の合力を考えると、重力と逆向きの力となります。

浮力の大きさは物体によっておしのけられた流体と同じ体積の流体の重さに等しくなります。つまり、浮力は物体によっておしのけられた流体に働く重力に等しい上向きの力です。物体に働く浮力が物体に働く重力より大きいとき、物体は浮くことになります。

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パスカルの原理

パスカルの原理は１６５３年にフランスの科学者ブレーズ・パスカルが発見した流体の圧力の伝わり方に関する基本原理で、「密閉された容器中の静止した流体の１点に圧力をかけると、加えられた圧力に等しい圧力が流体内のどの点にもかかる」というものです。

下図のように断面積 1m²のピストンを 1 Nの力で圧したとき、1 Nの力が流体を伝わり、容器内のどの部分にも 1 N/m²の力が働きます。

パスカルの原理を利用すると、力を増幅することができます。 次の図のような装置を使い、左側のピストンにF₁の力を加えると、容器中の流体にはF₁/S₁の圧力がかかります。この圧力は流体を通じて、右側のピストンにも伝わります。

右側のピストンに働く力F₂は、右側のピストンの断面積がS₂ですから、

F₂=　F₁/S₁×S₂　

この式をちょっと書き方を変えると、

F₂     =  F₁ × S₂ / S₁

となります。つまり、ピストンの面積の比だけ、力が増幅されることになります。

上式をさらに次のように変形してみると、さらにパスカルの原理がわかりやすくなります。

F₁/S₁ = F₂/S₂　

つまり、単位面積にかかる力、すなわち圧力はどこでも同じということです。

パスカルの原理の身近な応用例としては油圧ジャッキや油圧ブレーキなどがあります。

自動車の小さなブレーキパッドを踏むだけで、自動車を止めることができるのは、小さな力を大きな力に増幅することができる油圧ブレーキのおかげです。

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氷がとけると水面は上昇するか－アルキメデスの原理

　アルキメデスの原理は紀元前２１５年に古代ギリシャのアルキメデスが発見した浮力に関する基本的な物理法則です。

　流体中もしくは流体に浮かんで静止している物体には、物体によっておしのけられた流体に働く重力に等しい上向きの力（浮力）が働き、その分だけ軽くなるというものです。

　日常生活では、物体の浮き沈みや、空気中で重い物体が水中では軽々と持ち上げられるなどで体験することができます。　

　例えば、物体が水に浮かんでいるとき、その物体に働く浮力は水面下の物体の体積と同じ体積の水の重さに相当し、物体はその水の重さ分だけ軽くなります。このとき、物体の重さがおしのけられた水の重さより小さければ、その物体は水に浮きます。逆に大きければ沈みます。

　密度が異なる物質でできている２つの物体は同じ重さでも体積が異なるため、２つの物体がおしのけた水の体積もしくは重さが異なります。このことから、アルキメデスの原理は物体の密度の違いの説明に使われることがよくあります。

コップの中の水に浮いている10 gの氷がとけると、水面は上昇するでしょうか。

水は氷になると体積が1.1倍になります。つまり、10 g (10 cm³)の水が氷になると、10 g (11 cm³)の氷になります。

この氷をすっぽりと水の中に入れたと考えると、氷は11 cm³ の水をおしのけることになります。すなわち、氷によっておしのけられる水の重さは11 gです。氷は10 gですから、この氷は水に浮くことになります。

氷が受けている浮力は水面下にある氷がおしのけた水の重さに等しくなります。

ところで、物体の密度が流体の密度より小さいとき、物体は流体に浮くので、

物体の重さ(g)＝流体の密度(g/cm³ )×物体の水面下の体積(cm³ )

が成り立ちます。氷は水よりも密度が小さく、水の密度が1.0 g/cm³ であることを考えると、氷の水面下の体積は

氷の水面下の体積(cm³ )＝氷の重さ 10 (g)／水の密度 1.0 (g/cm³ )

ということになりますから、氷の水面下の体積(cm³ )は10 cm³ ということになります。つまり、氷は10 cm³ の水をおしのけていることになります。10 cm³ の水は10 gなので、水に浮いている氷が受けている浮力は10 ｇに相当する力ということになります。なお、水面上にある氷の体積は 1 cm³ ということになります。

さて、この氷がすべてとけるとどうなるでしょうか。氷の体積は11 cm³ ですが、とけてしまえば10 cm³ の水に戻ります。水面下で氷がおしのけている水の体積は10 cm³ ですから、水位はかわらないということになります。

よくテレビ番組で地球温暖化により氷山がとけて海面があがるという話が出てきますが、これは陸地にある氷山の話です。海に浮いている氷山がとけても海面の高さは変わりません。このあたりがきちんと区別されていない説明がよくあります。

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スケートはなぜ滑る？

スケートはなぜ滑る？という難問があります。

諸説ある中で自分がなるほどなと感心したのが下記の説明です。

スケートはどうして滑るのですか？　教えてください！

と思ったら、こんなニュースがありました。

スケートはなぜすべる？への答えが変わりそうですね。

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asahi.com   2008年05月13日01時10分

氷じゃないスケートリンク　本物の味わい　三菱樹脂販売

　三菱樹脂の子会社アストロ（東京）は６月から、氷の代わりに樹脂板をしきつめたスケートリンクを販売する。スペイン企業が開発。設営が簡単なうえ、通常の広さのスケート場（１８００平方メートル）だと電気代が年間２千万円以上節約できるという。実際に滑った選手からは「氷と変わらない」との感想が寄せられたが、公式戦には使えない。
アイス社のトニ・ベラ氏が滑りながら説明した＝１２日、東京都内

　リンクは縦２メートル、横１メートル、厚さ２センチで重さ３８キロの特殊なポリエチレン樹脂板を並べ、表面に専用のワックスを塗る。１平方メートル当たりの価格は６万～７万円の見込み。開発元のエクストラアイス社によるとすでに世界１１カ国で５０カ所、計２万平方メートルが使われているという。アストロは日本での販売総代理店。

　東京・日本橋にある三菱樹脂の会議室に１００平方メートルのリンクを仮設。アイスホッケーの元スペイン代表だったエクストラアイス社のトニ・ベラ営業部長は、自ら滑りながら「氷のリンクとの違いは、止まったときに氷のくずが飛ばないことだけ」と売り込みに懸命だった。

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メーカーのプレリリースはこちらです。

スケートリンクは維持費がかかるので、資金不足で運用できなくなる地方自治体も少なくありません。先日も大阪府の橋本知事がスケートリンクの廃止案を出して、荒川静香さんらが反対を表明していました。このリンク、現段階ではもちろん公式戦には使えませんが、いろいろなテストを重ねて公式戦でも使えるようにしてはどうかと思います。

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不思議なガラス板

丸い黄色のガラス板です。

こいつを通して、蛍光灯のライトをのぞくと予想通り黄色の世界。

ところが、蛍光灯の光を反射させると、ごらんの通り青い世界。

ここでクイズ。いったい、これはどんなガラス板なのでしょうか。

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ロバート・フックのMicrographia

今日はフックの法則で有名なロバート・フックの命日です。彼は1653年7月18日生まれ、1703年3月3日が命日です。

ロバート・フックはレンズを２枚用いた複式顕微鏡でいろいろなものを観察しています。詳しくはロバート・フックの顕微鏡という記事を読んでください。

彼の顕微鏡の観察はMicrographiaという本にまとめられています。amazonでいろいろなタイプの本（ペーパーバック、ハードカバーなど）を購入することができます。

Micrographia

どんな本なのかざっと見たい人はGoogle Ｂｏｏｋの検索で参照することができます。

Micrographiaの検索結果

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水の入った風船の挙動

水が入った風船をハイスピードカメラで撮影したものです。

こちらは風船を床に落としたときの風船の動き（風船は割れない）。

A water balloon not exploding in high-speed

そして、こちらが水の入った風船が割れる瞬間 。針でさしたらどうなるかです。

Busted water balloon in slow motion

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カラー電球の不思議なマジック

これ電球というよりもスイッチに仕掛けがあるマジックなのですが、どんな仕組みになっているのでしょう。

途中まではまぁそんな感じのマジックだよねという流れなのですが、最後はびっくり。台に仕掛けがあって見えないところから別の人がスイッチ切り替えているとかでしょうか。

Light Bulb

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ブドウを電子レンジに入れたらどうなるの？

こうなるらしい・・・１・２・３

One half grape vs microwave

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怪しい伝説を実験で検証

参加しているあるMLで教えてもらったのですが、Discovery Channelのサイトに「怪しい伝説・実験ハイライト映像」というページがあります。よく言われている「本当なのかなぁ？」ということを、実験で検証して正しいかどうかを調べるというプロジェクトです。ビデオ映像を見ることができます。なかなか面白いです。

●墜落するエレベーターで助かる方法は？
●銃弾に当たって後ろに飛ぶ演出はウソ？
●70キロの人間が浮くモーターって？
●国境を越えられる人間発射機の謎！
●ブランコで360度回転に挑戦！
●メントスをコーラに入れると大暴発？
●海賊が身につけていた眼帯の謎を解く！
●飛行機の緊急着陸姿勢はむしろ危険？
●銃撃されそうになったら水中に潜れ！
●インディ・ジョーンズの名シーン再現

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ヘクト光学１～３

光関係のことをいろいろと勉強できる本はたくさんありましが、詳しく勉強したい人はやはり専門書をもっていた方が良いと思います。まず紹介しておきたいのがユージン・ヘクトの光学という本です。全部で３巻です。一冊4,200円と高い本ですが、いろいろと勉強できると思います。

第１巻は幾何光学、第２巻は波動光学、第３巻は現代光学という構成になっています。第１巻と第２巻で光学の基礎がほとんど学べると思います。第３巻は半分ぐらいの厚さで値段も3,500円です。フーリエ光学やレーザーのことが書いてあります。

ヘクト光学〈1〉現代光学 (単行本)
ヘクト光学〈2〉現代光学 (単行本)
ヘクト光学〈3〉現代光学 (単行本)

Eugene Hecht (原著), 尾崎 義治 (翻訳), 朝倉 利光 (翻訳)
出版社: 丸善 (2004/09)
ISBN-10: 4621074482
ISBN-13: 978-4621074480

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ギネスブックに登録されているワイングラス

ここに一枚のワイングラスの写真が掲載されいます。左側の写真です。

一見ごく普通のワイングラスですが、このワイングラスはある理由でギネスブックに登録されているのです。

　実はこのワイングラスは世界最小という記録をもっています。その大きさは、高さが１２マイクロメートル（μｍ）、外径が２．７５ナノメートル（ｎｍ）といいます。いったいどれぐらいの大きなのでしょう。

　マイクロメートルの「マイクロ（μ）」、ナノメートルの「ナノ（ｎ）」は私たちが聞き慣れているセンチ（ｃ）やミリ（ｍ）と同じく、単位の前につける接頭辞です。マイクロは１００万分の１を意味し、ナノは１０億分の１を意味します。長さの単位メートルと一緒に使うと、マイクロメートル（μｍ）、ナノメートル（ｎｍ）ということになります。

１マイクロメートルは１００万分の１メートル、すなわち１ミリメートルの１０００分の１の長さです。１ナノメートルは１０億分の１メートル、すなわち１００万分の１ミリメートルです。そんな極小の世界を表すのに使われるのがマイクロやナノです。

　この写真は世界最小のワイングラスと髪の毛を比べたものです。いかにこのワイングラスが小さいかがわかるでしょう。普通のワイングラスと比較すると、約２万分の１の大きさです。写真のワイングラスは驚くほど極めて小さなワイングラスだったのでした。

夏休みの自由研究で小さいものや大きいものをいろいろと探してみる のも面白いかも。

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音のしくみ

■音が伝わるとはどういうこと？

　ものを叩いたり、震わせたりすると、ものから音が出ます。例えば、太鼓を叩くと、太鼓の皮が振動して音が出ます。太鼓を１回だけ叩いたときは、太鼓の皮の振動が小さくなるにつれて音が小さくなり、やがて振動が止まると音も止まります。ギターの弦をつま弾くと、ギターの弦が振動して音が出ます。弦を１回だけ弾いたときは、弦の振動が小さくなるにつれて音が小さくなり、振動が止まると音も止まります。音が出ている太鼓の皮やギターの弦を手でおさえると、ただちに振動が止まり音も止まります。

　このように音が出ているものは振動しています。ものが振動すると、ものの周りにある空気に圧力の変化が生じて、その圧力の変化が空気を伝わっていきます。もう少しわかりやすく説明すると、ものが振動して、空気が押されたとき、空気は縮められて密度が高くなます。空気が引かれたとき、空気は粗く（疎らに）なり、空気の密度が低くなります。

■音を伝えるものはなに？

　音を伝えるのは空気だけではありません。ものの振動を伝えるものは音を伝えます。身の回りにある気体、液体、固体はよく音を伝えます。例えば、水にもぐっても、音は聞こえます。お医者さんは聴診器を使って、体を伝わる心臓の音を聞きます。

　机の上を鉛筆の先で、音が聞こえないぐらいの強さでコツリとそっと叩いてみましょう。机の上に耳をぴったりつけて同じことをすると、音が聞こえるようになります。空気よりも机を作っている固体の木の方が音を伝えやすいのです。

　音はものの振動が伝わって聞こえるわけですから、振動するものがない真空中では音は伝わりません。よく宇宙戦争の映画で、宇宙船が宇宙空間で爆発するシーンがあります。映画では光とともに爆発音が聞こえます。光は真空中でも伝わるので見えますが、音は聞こえません。

■音が伝わる速さはどれぐらい？

　音が伝わる速さは、振動を伝えるものによって変わります。音を伝えるものによって、音の速度が変わるのは、ものによって振動を伝える速さが違うからです。

　空気中を伝わる音の速さは、室温で毎秒約340メートル（時速約1225キロメートル）です。空気中を伝わる音の速さは、気温が高いほど速くなります。室温付近では下記の式で求めることができます。

　　　音の速さ[m/秒]＝331.5 + 0.6t　（t：気温）

音の速度は光の速度（秒速約３０万キロメートル）より小さいので、遠くで光る雷の音は、雷が光ってしばらくしてから聞こえます。例えば、雷が光ってから、音が聞こえるまで２秒かかったとすると、

340 [m/秒] × 2 [秒] ＝ 680 [m]
（注）音の速度は340 [m/秒]とする

と求めることができます。

■音の大きさと高さは？

　大きい音と小さい音、高い音と低い音は何が違うのか考えてみましょう。音の大きさや高さは、ものの振動の状態によって決まります。ギターの弦を強く弾くと、弦の振動の振幅が大きくなり、大きい音が出ます。弦の長さを短くして弦を弾くと、弦の振動する回数が長いときよりも多くなり、高い音が出ます。また、弦を強く張ると、振動回数が多くなり、高い音が出ます。弦を太くすると、振動回数が少なくなり、低い音が出ます。

　ギターは太さの異なる６本の弦がついています。左手で弦を押さえる場所を変え、右手でいろいろな強さで弦を弾くことによって（右利きの場合）、様々な音色を出すのです。

■超音波ってどんな音？

　音の正体は波です。音波は、狭い意味では私たちの耳に聞こえる音のことですが、広い意味では左図のように物質中を振動として伝わる波のことをいいます。ヒトの耳で聞こえる音は振動回数が１秒間に２０回から２万回の音波です。ヒトはその範囲以外の音を聞くことができません（聞こえる範囲は個人差があります）。

　超音波はヒトの耳では聞こえない振動数の大きい音波です。イヌはヒトには聞こえない５万回の振動回数の音まで聞くことができますから、イヌは超音波も聞こえていることになります。

　コウモリやイルカは１０万回を超える振動数の音波を聞くことができます。しかも、コウモリやイルカは超音波を出すことができます。振動回数の大きな超音波は、音と違って、物質中を伝わっていくときに、あまり広がらず真っ直ぐ進んでいきます。コウモリやイルカは自分で超音波を出して、ものにあたって跳ね返ってくる超音波を聞いて、自分の前にある障害物やエサなどの位置や形などをとらえています。イルカは超音波をお互いのコミュニケーションにも使います。

　また、超音波はさまざまな分野で使われています。例えば、海底の深さを調べたり、漁船が魚を探したりするときに使う魚群探知機に使われています。医療に使われている超音波画像診断装置は、超音波が体内の内臓などで反射して戻ってくる時間や、その強さをもとに、体内の様子を画像で現わします。

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面白い磁石

この磁石欲しいです（＾＾；）

Magic Mag-net-ic

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無重力状態での水玉実験

無重力状態で大きな水玉を使っていろいろな実験をやっている様子です。水の表面張力がよくわかります。

Waves in a Large Free Sphere of Water

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