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2011年10月13日 (木)

背理法か悪魔の証明か 存在しないことを証明する

何かが「存在する」ことを証明するのは容易ですが、「存在しない」ことを証明するのは容易なことではありません。

例えば、部屋が100個ある家があるとします。『この家に人は存在しない』ことを証明する方法として、部屋をひとつずつ訪問する手法を採用するとします。

100個の部屋をひとつずつ訪れて、どこかの部屋に人がいることを確認できたら、直ちに『この家に人は存在する』ことは証明できたことになります。

しかし、『この家に人は存在しない』ことを証明するためには、100個の部屋をひとつずつ訪れて、すべての部屋に人が「存在しない」ことを確認しなければなりません。部屋の数が100個程度では何とかなるでしょう。しかし、部屋の数が1000個、10000個と増えていくと、『この家に人は存在しない』を証明するのは難しくなってきます。もし、部屋が無限にあるとしたら、証明はほとんど不可能になるでしょう。

そこで、『この家に人は存在しない』という命題を証明するにあたって、『この家に人は存在する』という元の命題の否定を仮定します。

そして、『この家に人が存在する』ということに対する矛盾を見つけることができれば、矛盾が生じたのは『この家に人が存在する』と仮定したためであり、結論として『この家に人は存在しない』という命題を証明できたことになります。

このように、ある命題を証明するために,その命題の否定を仮定することにより、矛盾が導かれることを示すことによって、もとの命題が成立すると結論づける方法を背理法といいます。

ところで、実際のところ、この命題『この家に人は存在しない』は背理法で証明できるのだろうか・・・

『この家に人は存在する』ことに対する矛盾を見つけることができれば良いのですが、何も条件がなければ、矛盾は見つけられません。

となること、これは悪魔の証明になってしまうのでしょうか?

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投稿: アン・アンシュタイン | 2011年10月14日 (金) 08時25分

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